Posloupnost, která je bud' rostoucí nebo klesající nebo nerostoucí nebo neklesající, se nazývá monotónní. Posloupnost se nazývá ryze monotónní, jestliže je bud' rostoucí nebo klesající.Využij symboliku používanou u posloupností. se nazývá shora omezená, právě když existuje reálné číslo H takové, že pro všechna n N ∈ platí: n a H ≤ . se nazývá zdola omezená, právě když existuje reálné číslo d takové, že pro všechna n N ∈ platí: n a d ≥ .Posloupnost (sekvence) je v matematice konečná nebo nekonečná sada objektů, v níž záleží na pořadí a objekty se mohou opakovat. Například zápis libovolného slova (nebo libovolný řetězec znaků) lze považovat za konečnou posloupnost písmen. Pokud je posloupnost konečná, často ji nazýváme uspořádanou n-ticí.
Co je to vybraná posloupnost : Nechť je posloupnost a nechť je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Pak posloupnost se nazývá vybraná posloupnost (podposloupnost) z posloupnosti .
Kdy je posloupnost konvergentní
Posloupnost se nazývá konvergentní, pokud má vlastní (reálnou) limitu A. Posloupnost se nazývá divergentní, pokud není konvergentí. Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
Kdy je posloupnost geometrická : Posloupnost daná rekurentním vzorcem an+1=an⋅q, kde čísla a1 a q jsou zadána, se nazývá geometrická posloupnost. Pro takovou posloupnost je podíl každých dvou sousedních členů konstantní, an+1an=q, konstanta q se nazývá kvocient geometrické posloupnosti.
Omezenost. Nejjednodušší způsob, jak rozhodnout o omezenosti posloupnosti, je podívat se na výraz |an| a zkusit dokázat, že existuje společná konstanta h taková, že pro všechna relevantní n (podle toho, kde začala indexace posloupnosti) platí |an| ≤ h. Pro nalezení takového h není algoritmus, vše záleží na zkušenosti.
Posloupnost daná rekurentním vzorcem an+1=an+d, kde čísla a1 a d jsou zadána, se nazývá aritmetická posloupnost. Pro takovou posloupnost je rozdíl každých dvou sousedních členů konstantní, an+1−an=d, konstanta d se nazývá diference aritmetické posloupnosti.
Jak se zapisuje posloupnost
Posloupnost může být konečná i nekonečná. Členy posloupnosti typicky zapisujeme pomocí indexů: a n a_n an značí n-tý člen posloupnosti a. Posloupnosti můžeme zapsat různými způsoby: výčtem členů: a = ( 7 , 10 , 13 , 16 , 19 , 22 ) a = (7, 10, 13, 16, 19, 22) a=(7,10,13,16,19,22)posloupnosti důležitou roli jako číslo, ke kterému členy posloupnosti „směřují“ („blíží se k němu“). Takovému číslu se říká limita posloupnosti. Posloupnosti, která má limitu, říkáme konvergentní posloupnost.Definice 2.3 (hromadný bod). Bod X se nazývá hromadným bodem množiny M, jestliže každé ryzí okolí bodu X obsahuje alespoň jeden bod, ležící v množině M (v tomto případě jich navíc obsahuje dokonce nekonečně mnoho).
Když má posloupnost limitu, která je reálné číslo, řekneme, že posloupnost konverguje. Taková limita se nazývá vlastní limita. Když má posloupnost limitu, která je plus či mínus nekonečno, říkáme této limitě nevlastní limita. Když má posloupnost limitu, vlastní či nevlastní, řekneme, že limita existuje.
Jaký je rozdíl mezi Radou a posloupnosti : S pojmem posloupnost je úzce spojen pojem řada. Řada vznikne sečtením prvků posloupnosti. Pokud je posloupnost konečná, vznikne konečná řada, pokud je posloupnost nekonečná, vznikne sečtením jejích členů nekonečná řada. se nazývá řada.
Jak dokázat že je posloupnost omezená : Omezenost. Nejjednodušší způsob, jak rozhodnout o omezenosti posloupnosti, je podívat se na výraz |an| a zkusit dokázat, že existuje společná konstanta h taková, že pro všechna relevantní n (podle toho, kde začala indexace posloupnosti) platí |an| ≤ h. Pro nalezení takového h není algoritmus, vše záleží na zkušenosti.
Kdy limita Diverguje
Když má posloupnost limitu, vlastní či nevlastní, řekneme, že limita existuje. Pokud posloupnost nemá vůbec žádnou limitu, řekneme, že limita neexistuje. Posloupnosti s nevlastní limitou a bez limity se nazývají divergentní.
Řada ∞∑k=0ak ∑ k = 0 ∞ a k konverguje právě tehdy, když pro každé ε>0 existuje n0∈R n 0 ∈ R tak, že pro každé n≥n0 n ≥ n 0 a p∈N p ∈ N platí |an+an+1+⋯+an+p|<ε.Jelikož řada je definovaná jako součet, budeme se hlavně zajímat o to, zda danou řadu lze nebo nelze sečíst, a pokud ano, tak jaký je tento součet. Definice: Řada se nazývá konvergentní, pokud je její součet reálné číslo.
Kdy je posloupnost divergentní : Posloupnost, která nemá limitu nebo jejíž limita je rovna , se nazývá divergentní.